a ) Calculate greatest common divisors of f = x5 + x4 + x3 − x2 − x + 1 and g = x3 + x2 + x + 1 ( f, g ∈ Zp [ x ] ) for p = 3 and p = 5.
Calculate polynomials s and t with gcd(f, g) = sf + tg. b) We consider the following gcd-Algorithm after J. Stein (possibly known in ancient China):
1:
www-madlener.informatik.uni-kl.dea ) Berechnen Sie größte gemeinsame Teiler von f = x5 + x4 + x3 − x2 − x + 1 und g = x3 + x2 + x + 1 ( f, g ∈ Zp [ x ] ) für p = 3 sowie p = 5.
Berechnen Sie jeweils auch Polynome s und t mit ggT(f, g) = sf + tg. b) Wir betrachten den folgenden ggT-Algorithmus nach J. Stein (war möglicherweise aber schon im antiken China bekannt):
1:
www-madlener.informatik.uni-kl.deintegrate ( sin ( x ), x ) ans = -cos ( x )
If function is rational ( i.e. quotient of two polynomials, whose coefficients do not depend on x ) ) we use the standard approach:
Separate a polynomial part, then separate a square free part using Horowitz ' [ 11 ] method, and finally integrate the rest using partial fractions.
webuser.fh-furtwangen.deintegrate ( sin ( x ), x ) ans = -cos ( x )
Wenn Funktion ein gebrochen rationaler Ausdruck ist, d.h. Quotient zweier Polynome, deren Koeffizienten unabhängig von x sind, wählen wir den Standardansatz:
Aufspalten in Polynom, dann quadratfreien Teil nach Horowitz [ 11 ], und schließlich Integration der Partialbrüche.
webuser.fh-furtwangen.dea ) Assure yourself that the multiplication algorithm after Karatsuba and Ofman also works for univariate polynomials.
Draft a recursive procedure. b) Prove that this algorithm multiplies tho polynomials of degree at most n (where n be a power of 2) with at most 9nlog2 3 +O(n) ring operations.
To this end, show the following lemma:
www-madlener.informatik.uni-kl.dea ) Machen Sie sich klar, dass der Multiplikationsalgorithmus nach Karatsuba und Ofman ( in der Vorlesung für Langzahlarithmetik eingeführt ) auch für univariate Polynome funktioniert.
Formulieren Sie eine entsprechende rekursive Prozedur. b) Zeigen Sie, dass dieser Algorithmus eine Multiplikation zweier Polynome vom Grade höchstens n (wobei n eine Zweierpotenz sei) mit höchstens 9nlog2 3 + O(n) Ringoperationen durchführt.
Zeigen Sie dazu folgendes Lemma:
www-madlener.informatik.uni-kl.deSome functions are specific to integers, and also work with arbitrary large numbers : primes ( Z ) expands Z into primefactors, factorial ( Z ) calculates the factorial function.
Modular division is provided by divide and treated later in the context of polynomials.
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webuser.fh-furtwangen.deDaneben sind Funktionen für Ganzzahlen implementiert, die auch mit beliebig großen Zahlen funktionieren : primes ( Z ) zerlegt Z in Primfaktoren, factorial ( Z ) berechnet die Fakultät.
Modulare Division mit divide wird im Kapitel Polynome besprochen.
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webuser.fh-furtwangen.deMany important properties of physics are mathematically modeled by random matrix models ( e.g. the thermal conductivity of a solid crystalline or disordered physical systems ) . In this workgroup we investigate properties of the random spectrum of such matrices with increasing dimension.
Of particular interest are relations to asymptotic zero distributions of orthogonal polynomials, which have properties similar to the eigenvalue distributions of random matrices.
Imprint Ruhr-University Bochum
www.ruhr-uni-bochum.deIn der Arbeitsgruppe werden Eigenschaften des zufälligen Spektrums solcher Matrizen bei wachsender Dimension untersucht.
Von besonderem Interesse sind dabei Beziehungen zu asymptotischen Nullstellenverteilungen von orthogonalen Polynomen, die ähnliche Eigenschaften haben wie die Eigenwertverteilungen zufälliger Matrizen.
Impressum Ruhr-Universität Bochum
www.ruhr-uni-bochum.deSo far, model-based methods are used in ECU calibration only in exceptional circumstances :
The current models based on polynomials or neural networks are either not sufficiently accurate for many tasks or require special modeling skills.
ETAS ASCMO – A universal solution for model-based calibration
www.etas.comModellbasierte Verfahren kommen in der Steuergeräteapplikation bisher allerdings nur im Ausnahmefall zum Einsatz :
Die gängigen Modelle auf Basis von Polynomen oder Neuronalen Netzen sind für viele Aufgaben entweder nicht ausreichend genau oder erfordern spezielle Modellierungskenntnisse.
ETAS ASCMO – Eine universelle Lösung für die modellbasierte Applikation
www.etas.comUsing a symbolic variable x we will now create a symbolic polynomial p.
Conversely, we can extract the coefficients from a symbolic polynomial using the function coeff ( p, x, exponent ).
The command allroots ( p ) returns the zeros.
webuser.fh-furtwangen.deMit einer Variablen x läßt sich jetzt einfach ein symbolisches Polynom p aufbauen.
Umgekehrt können die Koeffizienten des symbolischen Polynoms durch die Funktion coeff ( p, x, Exponent ) extrahiert werden.
Mit dem Befehl allroots ( p ) werden die Nullstellen berechnet.
webuser.fh-furtwangen.de4.
Determine all polynomials P (x) of the smallest possible degree with the following properties:
(a) The coefficient of the highest power is 200. (b) The coefficient of the smallest appearing power is 2. (c) The sum of all coefficients is 4.
www.oemo.at4.
Man bestimme alle Polynome P (x) möglichst kleinen Grades mit folgenden Eigenschaften:
(a) Der Koeffizient der höchsten Potenz ist 200. (b) Der Koeffizient der niedrigsten auftretenden Potenz ist 2. (c) Die Summe aller Koeffizienten ist 4.
www.oemo.at[ Karatsuba ]
a) Assure yourself that the multiplication algorithm after Karatsuba and Ofman also works for univariate polynomials.
Draft a recursive procedure. b) Prove that this algorithm multiplies tho polynomials of degree at most n (where n be a power of 2) with at most 9nlog2 3 +O(n) ring operations.
www-madlener.informatik.uni-kl.de[ Karatsuba ]
a) Machen Sie sich klar, dass der Multiplikationsalgorithmus nach Karatsuba und Ofman (in der Vorlesung für Langzahlarithmetik eingeführt) auch für univariate Polynome funktioniert.
Formulieren Sie eine entsprechende rekursive Prozedur. b) Zeigen Sie, dass dieser Algorithmus eine Multiplikation zweier Polynome vom Grade höchstens n (wobei n eine Zweierpotenz sei) mit höchstens 9nlog2 3 + O(n) Ringoperationen durchführt.
www-madlener.informatik.uni-kl.deThe focus of the course is on field extensions.
A close connection to group actions on sets of zeros of polynomials will be revealed.
This theory has applications in the treatment of many classical problems of mathematics as for example the squaring of the circle.
www.mathematik.uni-mainz.deIm Vordergrund steht das Studium von Körpererweiterungen.
Hierbei ergibt sich eine enge Verbindung zu Gruppenwirkungen auf Nullstellenmengen von Polynomen.
Diese Theorie hat Anwendungen auf viele klassische Probleme der Mathematik wie z.B. die Quadratur des Kreises.
www.mathematik.uni-mainz.deDesejar acrescentar uma palavra, uma frase ou uma tradução?
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